Question

17．若拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線(xiàn)方程；
（2）若AB是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的動(dòng)弦，直線(xiàn)l₁，l₂是拋物線(xiàn)兩條分別切于A(yíng)，B的切線(xiàn)，證明：直線(xiàn)l₁，l₂的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓中的c，可得拋物線(xiàn)中的p，即可求拋物線(xiàn)方程；
（2）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式寫(xiě)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程，然后整體運(yùn)算可求得兩切線(xiàn)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值-1，從而得到兩切線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$中a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∵拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦點(diǎn)重合，
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴2p=4，
∴拋物線(xiàn)方程為x²=4y；
（2）由拋物線(xiàn)x²=4y得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1）．
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
直線(xiàn)l：y=kx+1，代入拋物線(xiàn)x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又拋物線(xiàn)方程為：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
求導(dǎo)得y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率為$\frac{{x}_{1}}{2}$，切線(xiàn)方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）…②
拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)的斜率為$\frac{{x}_{2}}{2}$，切線(xiàn)方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1，即直線(xiàn)l₁，l₂的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，考查了整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．