Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x，若存在滿足0≤x₀≤3的實(shí)數(shù)x₀，使得曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與直線x+my-10=0垂直，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（三分之一前有一個(gè)負(fù)號(hào)）（　�。�

• A． [6，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． [2，6]
• D． [5，6]

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由兩直線垂直斜率之積為-1，得到4x₀-x₀²+2=m，再由二次函數(shù)求出最值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}$+2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-x²+4x+2．
曲線f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率為4x₀-x₀²+2，
由于切線垂直于直線x+my-10=0，則有4x₀-x₀²+2=m，
由于0≤x₀≤3，由4x₀-x₀²+2=-（x₀-2）²+6，
對(duì)稱軸為x₀=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=2，取得最大值6；
當(dāng)x₀=0時(shí)，取得最小值2．
故m的取值范圍是[2，6]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線垂直的條件和二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．