Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{x+2}$，x∈[3，5]
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論．
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先將原函數(shù)變成f（x）=$1-\frac{3}{x+2}$，由該解析式即可看出f（x）在[3，5]上為增函數(shù)，利用增函數(shù)的定義：任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）由f（x）在[3，5]上為增函數(shù)，從而便得出函數(shù)f（x）的最大值為f（5），最小值為f（3），這就求出了f（x）的最大值及最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$，可看出f（x）在[3，5]上遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3}{{x}_{2}+2}-\frac{3}{{x}_{1}+2}$=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{2}+2）（{x}_{1}+2）}$；
∵x₁，x₂∈[3，5]，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在x∈[3，5]上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得最小值為f（3）=$\frac{2}{5}$；
當(dāng)x=5時，函數(shù)f（x）取得最大值為f（5）=$\frac{4}{7}$．

點評 考查分離常數(shù)法的應(yīng)用，掌握利用增函數(shù)的定義證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)的方法及其過程，在比較f（x₁）與f（x₂）的大小時通常利用作差法，以及單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法．