Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1有共同的焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式，即可得出三角形的面積．

解答 解：如圖所示，不妨設(shè)兩曲線的交點(diǎn)P位于雙曲線的右支上，設(shè)|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由雙曲線和橢圓的定義可得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=2\sqrt{m}}\\{s-t=2a}\end{array}\right.$，
解得s²+t²=2m+2a²，st=m-a²．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=$\frac{2m+2{a}^{2}-4（m-1）}{2m-2{a}^{2}}$
∵m-1=a²+1，
∴m-a²=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面積為$\frac{1}{2}$st=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線方程及其幾何性質(zhì)及代數(shù)運(yùn)算能力．熟練掌握雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．