Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{x^2+2x+a}{x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x+2+$\frac{a}{x}$，
則f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)在在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
則f′（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即1-$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0，則a≤x²在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
∵在[$\frac{1}{2}$，+∞）上，x²≥$\frac{1}{4}$，
∴a≤$\frac{1}{4}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{4}$]

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0或f′（x）≥0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．