Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，求a的值
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，5）上的單調(diào)性
（3）設g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．（e=2.71828…是自然底數(shù)的對數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得斜率為1，解方程可得a=1；
（2）求出導數(shù)，由a＞0，和區(qū)間（3，5），即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求出g（x）的導數(shù)，對a討論，分別討論函數(shù)g（x）在[1，e]上的單調(diào)性，即可得到最大值．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{ax（2-x）}{x^4}=\frac{a（2-x）}{x^3}$，
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，切線斜率為1，
∴f'（1）=1，∴a=1；
（2）∵$f'（x）=\frac{a（2-x）}{x^3}$，
當x∈（3，5）時，$\frac{2-x}{x^3}＜0$，
又a＞0，所以∵$f'（x）=\frac{a（2-x）}{x^3}＜0$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，5）上單調(diào)遞減；
（3）g（x）=xlnx-a（x-1），則g′（x）=lnx+1-a，
令g′（x）＞0，即lnx＞a-1，得x＞e^a-1，
令g′（x）＜0，即lnx＜a-1，
考慮到lnx的定義域為x＞0，得0＜x＜e^a-1，
所以，g（x）在區(qū)間（0，e^a-1）上為遞減函數(shù)，
g（x）在區(qū)間（e^a-1，+∞）上為遞增函數(shù)，
①當e^a-1≤1，即0＜a≤1時，g（x）在區(qū)間[1，e]上為遞增函數(shù)，
此時g（x）最大值為g（e）=e+a-ae；
②當e^a-1≥e，即a≥2時g（x）在區(qū)間[1，e]上為遞減函數(shù)，
此時g（x）最大值為g（1）=0；
③當1＜e^a-1＜e，即1＜a＜2時g（x）在區(qū)間[1，e^a-1]上為遞減函數(shù)，
在區(qū)間[e^a-1，e]上為遞增函數(shù)，此時g（x）的最大值為g（e）和g（1）中較大者，
∵g（e）-g（1）=a+e-ae，令g（e）-g（1）＞0，解得$a＜\frac{e}{e-1}$，
∵1＜a＜2∴當$1＜a＜\frac{e}{e-1}$時，g（x）最大值為g（e）=e+a-ae，
當$\frac{e}{e-1}≤a＜2$時，g（x）最大值為g（1）=0．
綜上所述，當$0＜a＜\frac{e}{e-1}$時，g（x）最大值為g（e）=e+a-ae，
當$a≥\frac{e}{e-1}$時，g（x）的最大值為g（1）=0．

點評 本題考查函數(shù)與導數(shù)基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，屬于中檔題．