Question

1．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁和焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C₂相切于點(diǎn)（0，2）、（0，-2），且橢圓C₁，C₂的離心率均為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₂的左、右頂點(diǎn)為A₁，A₂，過A₁的直線l與橢圓C₁，C₂分別交于點(diǎn)M，N和A₁，B（異于A₂），若$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C₁和C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，通過離心率可得各自的方程；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=k（x+1），通過聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$、利用韋達(dá)定理、$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，計(jì)算可得斜率k=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C₁和C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
則$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即a²=16，
$\frac{4-^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$，即b²=1，
所以橢圓C₁和C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A₁（-1，0），A₂（1，0），
設(shè)l的方程為y=k（x+1），B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
∵過A₁的直線l與橢圓C₂分別交于點(diǎn)A₁，B（異于A₂），
∴x₁=$-\frac{2{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$+1=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
∴y₁=k（x₁+1）=$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$，即B（$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），
∵$\overrightarrow{B{A}_{2}}$•$\overrightarrow{M{A}_{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$•$\frac{\frac{8k}{4+{k}^{2}}}{\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}-1}$=-1，化簡得y₂=$\frac{k}{4}$（x₂-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=k（{x}_{2}+1）}\\{{y}_{2}=\frac{k}{4}（{x}_{2}-1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{2}{3}k}\end{array}\right.$，
代入方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，解得k=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$，
所以直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{119}}{4}$（x+1）．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及到韋達(dá)定理，向量數(shù)量積運(yùn)算等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．