Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x，g（x）=-6x（a∈R）．
（Ⅰ）若x=3是d的極值點，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）時是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由題意得f′（3）=0，解方程可得a=4，求得[1，4]上函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，即可得到最值；
（II）求得h（x）的解析式和導數(shù)，由題意得，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，由參數(shù)分離和基本不等式，即可得到a的范圍．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2ax-3，
由題意得f′（3）=0，即27-6a-3=0，
解得a=4，
f′（x）=3x²-8x-3=3（x-3）（x+$\frac{1}{3}$），
當x∈（1，3），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（3，4），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
即有f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=-6，最小值為f（3）=-18；       
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax²+3x，
由題意得，h′（x）=3x²-2ax+3≥0在（0，+∞）恒成立，
即$a≤\frac{3}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$在（0，+∞）恒成立，
而${（{x+\frac{1}{x}}）_{min}}=2$，
所以a≤3．
則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，3]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，主要考查不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．