Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-m|+m．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求使f（x）≤a-f（-x）有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得不等式f（x）≤6的解集為m-3≤x≤3，再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，可得m-3=-1，由此求得m的范圍．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=|2x-m|+m，不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，
∴|2x-m|≤6-m 的解集為{x|-1≤x≤3}．
由|2x-m|≤6-m，可得m-6≤2x-m≤6-m，求得m-3≤x≤3，故有m-3=-1，m=2．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）=|2x-m|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=$\left\{\begin{array}{l}{4-4x，x≤-1}\\{8，-1＜x≤1}\\{4+4x，x＞1}\end{array}\right.$，
故g（x）的最小值為8，
故使f（x）≤a-f（-x）有解的實(shí)數(shù)a的范圍為[8，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最小值，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．