Question

9．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與拋物線y²=8x有一個公共的焦點F，兩曲線的一個交點為M．若|MF|=5，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和橢圓有相同的焦點求得p和c的關(guān)系，求出M的坐標，然后利用橢圓的定義求得a，即可求得離心率．

解答 解：∵拋物線y²=8x的焦點坐標F（2，0），p=4，
∵拋物線的焦點和橢圓的焦點相同，
∴c=2，
∵設(shè)M（m，n），由拋物線定義知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+2=5，∴m=3．
∴M點的坐標為（3，2$\sqrt{6}$）
∴2a=5+${\sqrt{（3+2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}}^{\;}$=12，解得a=6，
橢圓的離心率為$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了橢圓，拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．解答關(guān)鍵是利用性質(zhì)列出方程組．