Question

9．已知雙曲線mx²+ny²=1的離心率為2，其中的一個焦點是拋物線y²=4x的焦點，則該雙曲線的漸近線方程是（　　）

• A． $y=±\frac{3}{2}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$
• D． $y=±\sqrt{3}x$

Answer 1

分析 利用拋物線的方程先求出拋物線的焦點即雙曲線的焦點，利用雙曲線的方程與系數(shù)的關系求出a²，b²，利用雙曲線的三個系數(shù)的關系列出m，n的一個關系，再利用雙曲線的離心率的公式列出關于m，n的另一個等式，解方程組求出m，n的值，代入方程求出雙曲線的方程，可得漸近線方程．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點為（1，0）
∴mx²+ny²=1的一個焦點為（1，0）
∴雙曲線的焦點在x軸上，
∴a²=$\frac{1}{m}$，b²=-$\frac{1}{n}$，c=1，
根據(jù)雙曲線三個參數(shù)的關系得到 1=a²+b²=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$，
又離心率為2，
即$\frac{1}{\frac{1}{m}}$=4，
解得m=4，n=-$\frac{4}{3}$．
∴此雙曲線的方程為4x²-$\frac{4}{3}$y²=1，
漸近線方程即為：y=±$\sqrt{3}$x，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，解決雙曲線、橢圓的三參數(shù)有關的問題，一定注意雙曲線中三參數(shù)的關系：c²=a²+b²而橢圓中三參數(shù)的關系為a²=c²+b²．