Question

14．已知曲線Ω：Ax²+By²+Cxy=1（A，B，C為常數(shù)），有下列命題：
①若A=B，則曲線Ω關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；  ②若C≠0，則曲線Ω一定是一條封閉曲線；
③若C=0，則存在A，B，使過(guò)點(diǎn)（0，1）與曲線Ω有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有4條；
④若C=0，則直線x+y+m=0與曲線Ω相交弦的中點(diǎn)軌跡可能是直線．
其中的正確命題是①③④（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若A=B，當(dāng)x，y互換時(shí)，方程不變，則曲線Ω關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，正確；  
②A=B=1，C=2時(shí)，方程可化為x+y=±1，表示兩條直線，則曲線Ω一定是一條封閉曲線，不正確；
③若C=0，則存在A=1，B=-1，使過(guò)點(diǎn)（0，1）與曲線Ω有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有4條，正確；
④若C=0，則直線x+y+m=0與曲線Ω相交弦AB的中點(diǎn)（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點(diǎn)差法可得A（x₁+x₂）（x₁-x₂）+B（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，所以Ax+By=0，即的中點(diǎn)軌跡可能是直線，正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．