Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x²+（m-2）x+2．
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，則△=（m-2）²+4（2-m）≤0，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，令g（x）=-x²+（m-2）x+2-m，則$\left\{\begin{array}{l}g（-1）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
則△=（m-2）²+4（2-m）≤0，
解得：m∈[2，6]；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2≤m在[-1，1]上恒成立，
即-x²+（m-2）x+2-m≤0在[-1，1]上恒成立，
令g（x）=-x²+（m-2）x+2-m，則$\left\{\begin{array}{l}g（-1）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-2m+3≤0\\-1≤0\end{array}\right.$，
解得：m≥$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．