Question

16．己知函數(shù)f（x）=-x²+|x-a|，a∈R．
（1）討論f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)a=-1時，求f（x）的值域；
（3）當(dāng)a≤0時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時，f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）將a=-1代入，分類討論f（x）的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；
（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論f（x）的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)，理由如下：
當(dāng)a=0時，函數(shù)f（-x）=-（-x）²+|-x|+1=-x²+|x|=f（x），此時，f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)a≠0時，f（a）=-a²，f（-a）=-a²+2|a|，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=-x²+|x+1|，
當(dāng)x≤-1時，f（x）=-x²-x-1∈（-∞，-1]，
當(dāng)x＞-1時，f（x）=-x²+x+1∈（-∞，$\frac{5}{4}$]，
綜上，當(dāng)a=-1時，求f（x）的值域?yàn)椋?∞，$\frac{5}{4}$]，
（3）當(dāng)a≤0時，
當(dāng)x≤a時，f（x）=-x²-x+a的圖象開口朝下，以x=$-\frac{1}{2}$為對稱軸，
此時函數(shù)f（x）≤$\frac{1}{4}$+a，
當(dāng)x＞a時，f（x）=-x²-x+a的圖象開口朝下，以x=$\frac{1}{2}$為對稱軸，
f（x）=-x²+x-a∈（-∞，$\frac{1}{4}$-a]，
∵$\frac{1}{4}$-a＞$\frac{1}{4}$+a，
故當(dāng)a≤0時，f（x）的最大值為$\frac{1}{4}$-a．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．