Question

1．如果我們定義[a，b，c]為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，那么下面給出的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=-3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ $\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$ ）；
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于 $\frac{3}{2}$；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞$\frac{1}{4}$ 時(shí)，y隨x的增大而減小；
④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象恒過同一個(gè)點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問題；
③首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
④根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
①當(dāng)m=-3時(shí)，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；此結(jié)論正確；
②當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$，此結(jié)論正確；
③當(dāng)m＜0時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個(gè)開口向下的拋物線，其對稱軸是：$\frac{m-1}{4m}$，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即對稱軸在x=$\frac{1}{4}$右邊，因此函數(shù)在x=$\frac{1}{4}$右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結(jié)論錯(cuò)誤；
④當(dāng)x=1時(shí)，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（1，0），故當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個(gè)定點(diǎn)此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．
故選：B．

點(diǎn)評 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．