Question

12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＞$\frac{n}{2}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，注意解題步驟，特別是n=k+1時(shí)，運(yùn)用假設(shè)n=k的結(jié)論，結(jié)合放縮法，即可得證

解答 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=$\frac{1}{2}$，不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)不等式成立，即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)?+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}+\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}+\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
又因?yàn)?\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k+1}}$=$\frac{1}{2}$
所以1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立
所以由①、②可知對(duì)所有 n∈N^*原不等式成立；

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．