Question

11．如圖所示，設(shè)過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓x²+2y²=2交于A、B兩點(diǎn)，若以線段AB的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，消去y，整理得（1+k²）x²-4k²x+4k²-2=0，以線段AB的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，消去y，整理得（1+k²）x²-4k²x+4k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵以線段AB的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}$+$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=0
解得k=±1．
∴所求直線l的方程為y=±（x-2）．

點(diǎn)評 本題考查直線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．