Question

15．當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x≤4}\\{2x+2y+a≥0}\end{array}\right.$（a為常數(shù)）時(shí)z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值為$\frac{9}{5}$，則實(shí)數(shù)a的值為-12．

Answer 1

分析 畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形，由其幾何意義可得斜率最大值，代入兩點(diǎn)求斜率可得a的值．

解答 解：

z=$\frac{2x+y}{2x-1}$=$\frac{2x-1+y+1}{2x-1}$=1+$\frac{y+1}{2x-1}$=$1+\frac{1}{2}•\frac{y-（-1）}{x-\frac{1}{2}}$，
z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值為$\frac{9}{5}$，即可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（$\frac{1}{2}，-1$）連線的斜率的最大值為$\frac{8}{5}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+2y=a}\end{array}\right.$，解得C（$-\frac{a}{4}，-\frac{a}{4}$），
由$\frac{-\frac{a}{4}-（-1）}{-\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}$，解得：a=-12．
故答案為：-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、結(jié)合圖求目標(biāo)函數(shù)的最值、考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．