Question

20．已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，a²b=2，m=ab+a²．
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若m的最小值為t，正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²+y²+z²=$\frac{t}{3}$，求證：|x+2y+2z|≤3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件a＞0，b＞0，m=ab+a²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+a²，利用基本不等式求得m的最小值．
（Ⅱ）由條件利用柯西不等式求得得：（x²+y²+z²）•（1²+2²+2²）≥（x+2y+2z）²成立，從而證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵ab＞0，a²b=2，
∴a＞0，b＞0，
∴m=ab+a²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+a²≥$3\root{3}{\frac{ab}{2}•\frac{ab}{2}•{a}^{2}}$=3，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}$ab=a²，即a=1，b=2時(shí)取等號(hào)，
∴m的最小值是3；
（Ⅱ）證明：∵x²+y²+z²=1，由柯西不等式得：（x²+y²+z²）•（1²+2²+2²）≥（x+2y+2z）²，
整理得：9≥（x+2y+2z）²，
∴|x+2y+2z|≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．