Question

12．函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}}$的定義域為{x|x≠0}，值域為[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 容易看出3x²+2x+1＞0恒成立，從而定義域為{x|x≠0}，可設(shè)$y=\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}$，然后可整理成關(guān)于x的方程的形式：（y-3）x²-2x-1=0，方程有解，y=3時，容易判斷滿足方程有解；y≠3時，根據(jù)△≥0即可得出y的范圍，從而得出$\sqrt{y}$的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$3{x}^{2}+2x+1=3（x+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{2}{3}$＞0；
∴f（x）的定義域為{x|x≠0}；
設(shè)y=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}}$；
∴yx²=3x²+2x+1；
整理成：（y-3）x²-2x-1=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①y=3時，-2x-1=0，∴$x=-\frac{1}{2}$，滿足方程有解；
②y≠3時，則：△=4+4（y-3）≥0；
∴y≥2；
∴$\sqrt{y}≥\sqrt{2}$；
∴$f（x）≥\sqrt{2}$；
∴函數(shù)f（x）的值域為[$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為：{x|x≠0}，$[\sqrt{2}，+∞）$．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念及其求法，求形如y=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的值域的方法：整理成關(guān)于x的方程的形式，根據(jù)方程有解求，一元二次方程有解時判別式△的取值情況．