Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x₁、x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），則當(dāng)1≤s≤4時，$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，-$\frac{1}{2}$）
• B． [-3，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-5，-$\frac{1}{2}$）
• D． [-5，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件便可得到f（x）在R上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以由不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）便得到，s²-2s≥t²-2t，將其整理成（s-t）（s+t-2）≥0，畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域．設(shè)$\frac{t-2s}{s+t}=z$，所以得到t=$\frac{z+2}{1-z}s$，通過圖形求關(guān)于s的一次函數(shù)的斜率范圍即可得到z的范圍，從而求出$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范圍．

解答 解：由已知條件知f（x）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于原點(diǎn)對稱；
∴由f（s²-2s）≤-f（2t-t²）得：
s²-2s≥t²-2t；
∴（s-t）（s+t-2）≥0；
以s為橫坐標(biāo)，t為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系；
不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（s-t）（s+t-2）≥0}\\{1≤s≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域，如圖所示：
即△ABC及其內(nèi)部，C（4，-2）；
設(shè)$\frac{t-2s}{s+t}=z$，整理成：$t=\frac{2+z}{1-z}s$；
${k}_{OC}=-\frac{1}{2}，{k}_{AB}=1$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{2+z}{1-z}≤1$，解得：$-5≤z≤-\frac{1}{2}$；
∴$\frac{t-2s}{s+t}$的取值范圍是[$-5，-\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評 考查減函數(shù)的定義，圖象的平移，奇函數(shù)的定義，以及二元一次不等式組表示平面區(qū)域，線性規(guī)劃的概念，及其應(yīng)用，過原點(diǎn)的一次函數(shù)的斜率的求解．