Question

15．如圖在以O(shè)A為半徑的半圓M中，有三個(gè)半徑為1的相同的半圓，在半圓M中任取一點(diǎn)N．
（1）求點(diǎn)N位于區(qū)域E的概率；
（2）求點(diǎn)N位于區(qū)域F的概率．

Answer 1

分析 由題意求出區(qū)域E、F及半圓M的面積．
（1）由區(qū)域E的面積除以半圓M的面積得答案；
（2）由區(qū)域F的面積除以半圓M的面積得答案．

解答 解：如圖，

以MO₁P為圓心角的扇形的面積為$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×1×1=\frac{π}{6}$，
等邊三角形O₁MP的面積為$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴以MO₁P為圓心角的小弓形的面積為$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴區(qū)域E的面積為$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}-\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
區(qū)域F的面積為2π$-\frac{π}{2}-\frac{π}{2}$$-\frac{π}{6}+2（\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}）$=$\frac{7π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
半圓M的面積為2π．
（1）點(diǎn)N位于區(qū)域E的概率為$\frac{\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{2π}=\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8π}$；
（2）點(diǎn)N位于區(qū)域F的概率為$\frac{\frac{7π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2π}=\frac{7}{12}-\frac{\sqrt{3}}{4π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型，考查了扇形面積公式的應(yīng)用，是中低檔題．