Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有極大值0，求a的值；
（2）討論并求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有極大值0，即可求a的值；
（2）分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

解答 解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=$\frac{1-ax}{x}$
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）
因此，f（x）的極大值為f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a
∵-lna-1+a=0
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴e＜$\frac{1}{a}$，即0＜a＜$\frac{1}{e}$，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞增，∴x=e時，f（x）_max=lne-a（e-1）；
$\frac{1}{e}$≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤e，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞減，
∴x=$\frac{1}{a}$時，f（x）_max=-lna-1+a；
e＞$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{e}$，函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上單調(diào)遞減，∴x=$\frac{1}{e}$時，f（x）_max=-1-a（$\frac{1}{e}$-1）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極大值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．