Question

18．已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，若點A是拋物線與雙曲線的一個交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 根據拋物線和雙曲線有相同的焦點求得p和c的關系，根據AF⊥x軸可判斷出|AF|的值和A的坐標，代入雙曲線方程與p=2c，b²=c²-a²聯立求得a和c的關系式，然后求得離心率e．

解答 解：∵拋物線的焦點和雙曲線的焦點相同，
∴p=2c
∵A是它們的一個公共點，且AF垂直x軸，
設A點的縱坐標大于0，
∴|AF|=p，
∴A（$\frac{p}{2}$，p），
∵點A在雙曲線上，
∴$\frac{{p}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，
∵p=2c，b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
化簡得：c⁴-6c²a²+a⁴=0，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e²＞1，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$
∴e=$\sqrt{2}$+1，
故選：B

點評 本題主要考查關于雙曲線的離心率的問題，屬于中檔題，本題利用焦點三角形中的邊角關系，得出a、c的關系，從而求出離心率．