Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）．記f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 首先利用三角等式結(jié)合正弦定理求出B，由此得到A的范圍，再由向量的數(shù)量積求出f（x），然后利用倍角公式等化簡(jiǎn)，求出值域．

解答 解：因?yàn)椋?a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）．
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．
∴cosB=$\frac{1}{2}$，則B=$\frac{π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）＜1．
又∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos$\frac{x}{4}$×$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)值域求法；關(guān)鍵是正確求出三角函數(shù)的解析式，利用角A的范圍求值域．