Question

2．已知命題p：對于任意非零實數(shù)x，不等式m＜x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=x²-2mx在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，若命題p和命題q有且只有一個真命題，則實數(shù)m的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 對于命題p：令f（x）=x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≠0），由于f（x）是偶函數(shù)，因此只要考慮x＞0即可．f′（x）=$4{x}^{3}-2x-\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x+1）（x-1）（2{x}^{4}+{x}^{2}+1）}{{x}^{3}}$，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出m的取值范圍．對于命題q：函數(shù)f（x）=x²-2mx=（x-m）²-m²在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，可得m≤2．若命題p和命題q有且只有一個真命題，p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：對于命題p：令f（x）=x⁴-x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≠0），由于f（x）是偶函數(shù)，因此只要考慮x＞0即可．f′（x）=$4{x}^{3}-2x-\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x+1）（x-1）（2{x}^{4}+{x}^{2}+1）}{{x}^{3}}$．∴當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=1．∴m＜1．
對于命題q：函數(shù)f（x）=x²-2mx=（x-m）²-m²在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，∴m≤2．
∵命題p和命題q有且只有一個真命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或1≤m≤2．
則實數(shù)m的取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．