Question

8．設(shè)a、b、c∈R₊，求證：$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，可得$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）≥a，$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）≥b，$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥c，相加，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵a、b、c∈R₊，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）≥a，$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）≥b，$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{1}{4}$（b+c）+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{1}{4}$（c+a）+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$+$\frac{1}{4}$（a+b）≥a+b+c，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{a+b+c}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．