Question

7．若a≠0，試求函數(shù)f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³-x²+a²x²+2ax的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³-x²+a²x²+2ax，
∴f′（x）=-2ax²-2x+2a²x+2a=（-2ax-2）（x-a），
a＞0時，-$\frac{1}{a}$＜a，
令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{a}$＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$），（a，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，a）遞減，
∴f（x）_極大值=f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{{3a}^{2}}$-1，f（x）_極小值=f（a）=$\frac{1}{3}$a⁴+a²，
a＜0時，-$\frac{1}{a}$＞a，
令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{a}$或x＜a
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜-$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（-∞，a），（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（a，-$\frac{1}{a}$）遞減，
∴f（x）_極小值=f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{{3a}^{2}}$-1，f（x）_極大值=f（a）=$\frac{1}{3}$a⁴+a²．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．