Question

10．正四面體ABCD的棱長為2，棱AD與平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且頂點A在平面α內(nèi)，B，C，D均在平面α外，則棱BC的中點E到平面α的距離的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• B． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1]
• C． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 取平面DEA⊥平面α位置考慮，在△ADE中，求出cos∠DAE，再考慮特殊位置，可得結(jié)論．

解答 解：取平面DEA⊥平面α位置考慮即可．如圖所示，
在△ADE中，AD=2，DE=AE=$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAE=$\frac{4+3-3}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
棱AD與平面α所成的角為$\frac{π}{3}$時，sin∠EAN=sin（$\frac{π}{3}$-∠DAE）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴EN=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
或sin∠EAN=sin（$\frac{π}{3}$+∠DAE）=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$
∴EN=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$
∴棱BC的中點E到平面α的距離的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]．
故選：C．

點評 本題考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，取特殊位置是關(guān)鍵．