Question

15．已知點(diǎn)P（2，0）及圓C：（x-3）²+（y+2）²=9．
（Ⅰ）若直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分直線斜率存在與否，兩種情況解答；
（2）把直線y=ax+1代入圓C的方程d得到關(guān)于x的一元二次方程，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系得到a的范圍，設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，利用直線垂直的斜率關(guān)系得到a值判斷．

解答 解：（1）設(shè)直線l的斜率為k（k存在），
則方程為y-0=k（x-2）．即kx-y-2k=0
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由  $\frac{{|{3k+2-2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
所以直線方程為$y=-\frac{3}{4}（x-2）$，即 3x+4y-6=0．
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件．
（2）把直線y=ax+1．代入圓C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y-1=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，而${k_{AB}}=a=-\frac{1}{{{k_{PC}}}}$，所以$a=\frac{1}{2}$．由于$\frac{1}{2}∉（-∞，0）$，
故不存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷；屬于中檔題．