Question

10．某商場組織購物抽獎活動，現(xiàn)場準(zhǔn)備了兩個裝有6個球的箱子，小球除顏色外完全相同，A箱中放有3個紅球、2個白球、1個黃球，B箱中放有紅球、白球和黃球各2個，顧客購物一次可分別從A、B兩箱中任�。ㄓ蟹呕兀┮磺�，當(dāng)兩球同色即中獎，若取出兩個黃球得3分，取出兩個白球得2分，取出兩個紅球得1分，當(dāng)兩球異色時未中獎得0分，商場根據(jù)顧客所得分?jǐn)?shù)多少給予不同獎勵．
（Ⅰ）求某顧客購物一次中獎的概率；
（Ⅱ）某顧客先后2次參與購物抽獎，其得分之和為ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩球同色即中獎，即可求某顧客購物一次中獎的概率；
（Ⅱ）某顧客先后2次參與購物抽獎，其得分之和為ξ，確定其取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由題意，P（A取紅球）=$\frac{1}{2}$，P（A取白球）=$\frac{1}{3}$，P（A取黃球）=$\frac{1}{6}$，P（B取紅球）=$\frac{1}{3}$，P（B取白球）=$\frac{1}{3}$，P（B取黃球）=$\frac{1}{3}$，
∴顧客購物一次中獎的概率為$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）ξ的取值為0，1，2，3，4，5，6，則
令η表示顧客1次參與購物抽獎的得分，則P（η=0）=$\frac{2}{3}$，P（η=1）=$\frac{1}{6}$，P（η=2）=$\frac{1}{9}$，P（η=3）=$\frac{1}{18}$．
P（ξ=0）=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，P（ξ=1）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$，P（ξ=2）=2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{9}$+$（\frac{1}{6}）^{2}$=$\frac{19}{108}$，
P（ξ=3）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{9}$+2×$\frac{2}{3}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{9}$，P（ξ=4）=2×$\frac{1}{6}×\frac{1}{18}$+$（\frac{1}{9}）^{2}$=$\frac{5}{162}$，
P（ξ=5）=$2×\frac{1}{9}×\frac{1}{18}$=$\frac{1}{81}$，P（ξ=6）=$（\frac{1}{18}）^{2}$=$\frac{1}{324}$．
ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{19}{108}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{162}$	$\frac{1}{81}$	$\frac{1}{324}$

Eξ=0×$\frac{4}{9}$+1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{19}{108}$+3×$\frac{1}{9}$+4×$\frac{5}{162}$+5×$\frac{1}{81}$+6×$\frac{1}{324}$=$\frac{10}{9}$．

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，歷年高考中都是必考題型．