Question

20．已知函數(shù)$f（x）=sin（x-\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}-x）+cosxcos（π-x）$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式化簡解析式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后求周期；
（Ⅱ）由自變量范圍求復(fù)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cosxsinx-{cos^2}x=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π；…（6分）
（Ⅱ）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]⇒2x-\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]⇒sin（2x-\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，
∴$f（x）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$．…（13分）

點評 本題考查了三角函數(shù)倍角公式化簡三角函數(shù)式以及利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域；屬于經(jīng)常考查題型．