Question

9．設(shè)實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y≥1\end{array}$，則不等式x²+$\frac{y^2}{2}$≤λ有解的實數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令${x^2}+\frac{y^2}{2}=t\;（t＞0）$，把不等式x²+$\frac{y^2}{2}$≤λ有解轉(zhuǎn)化為求x²+$\frac{y^2}{2}$的最小值，由橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$與線段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切，判別式等于0求得t的值．

解答 解：令${x^2}+\frac{y^2}{2}=t\;（t＞0）$，當(dāng)橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$與線段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切時，t最�。�
如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{2}=t\\ x+y=1\end{array}\right.$，消去y得3x²-2x+1-2t=0，
由△=（-2）²-4×3×（1-2t）=0，得$t=\frac{1}{3}$．
即$λ≥\frac{1}{3}$，∴實數(shù)λ的最小值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是利用橢圓${x^2}+\frac{y^2}{2}=t$與線段x+y=1（0≤x≤1，0≤y≤1）相切求出x²+$\frac{y^2}{2}$的最小值，是中檔題．