Question

20．如圖，△BCD與△ECD都是邊長為2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面EBC的距離；
（Ⅲ）求平面ACE與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明A，B，F(xiàn)，E共面，CD⊥BF，AB⊥CD，即可證明：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）可以利用等體積法，CF即為C點(diǎn)到平面ABE的距離，求出三角形ABE的面積可得結(jié)論；
（Ⅲ）延長AE與BF延長線交于點(diǎn)O，連CO，則CO是平面ACE與面BCD的交線，F(xiàn)是BO的中點(diǎn)，作FG⊥CO，連接EG，則∠EGF為平面ACE與平面BCD所成二面角的平面角，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：取CD的中點(diǎn)F，連接BF，EF，則EF⊥CD，
∵平面ECD⊥平面BCD，平面ECD∩平面BCD=CD，
∴EF⊥平面BCD，
∵AB⊥平面BCD，
∴EF∥AB，
∴A，B，F(xiàn)，E共面，
∵△BCD是正三角形，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，
∴CD⊥BF，
∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB∩BF=B，
∴CD⊥平面ABF，即CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：由上知，CF即為C點(diǎn)到平面ABE的距離，
△BEC中，BC=2，CE=2，BE=$\sqrt{6}$，S_△BEC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
設(shè)點(diǎn)A到平面EBC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$；
（Ⅲ）解：延長AE與BF延長線交于點(diǎn)O，連CO，
則CO是平面ACE與面BCD的交線，F(xiàn)是BO的中點(diǎn)，
作FG⊥CO，連接EG，則∠EGF為平面ACE與平面BCD所成二面角的平面角
在△EFG中，EF=$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=1，EG=2
∴平面BCD與平面ACE所成二面角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)A到平面BCE的距離的求法，證明CD⊥平面ACE，求平面BCD與平面ACE所成二面角的大小，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．