Question

4．某中學校本課程開設了A，B，C，D共4門選修課，每個學生必須且只能選修1門選修課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙3名學生．
（Ⅰ）求在D課程沒有被選中的條件下，A課程被甲選中的概率；
（Ⅱ）記“這3名學生選擇A課程的人數(shù)”為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用條件概率的概念求出n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，繼而得出結論．
（2）兩種方法處理此題，一種是常規(guī)的方法，一種是獨立重復試驗利用二項分布解題．

解答 解：（1）設“D課程沒有被選中”為事件E，“甲選擇了A課程”為事件F，
則n（E）=3×3×3=27，n（EF）=3×3=9，則P（E|F）=$\frac{n（EF）}{n（F）}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$，
（2）解法一：X的所有可能取值為0，1，2，3，且
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）$\frac{{C}_{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{1}{64}$
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的數(shù)學期望EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$
解法二：因為A選修課被每位同學選中的概率均為$\frac{1}{4}$，沒被選中的概率均為$\frac{3}{4}$，
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$）
P（X=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}×\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$，P（X=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

所以X的數(shù)學期望EX=3×$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

點評 本題主要考查了條件概率的求解方法和獨立重復試驗的思路，屬常考題型．