Question

4．四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求證CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐P-ACE體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長DC、AB交于N，連接PN，證明EC∥PN，利用線面平行的判定定理證明CE∥平面PAB；
（Ⅱ）證明CD⊥平面PAC，求出E到平面PAC距離，即可求三棱錐P-ACE體積．

解答 （Ⅰ）證明：延長DC、AB交于N，連接PN
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C為ND中點．
∵E為PD中點，∴EC∥PN．
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB…（6分）
（2）解：$AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=2\sqrt{3}$
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AC，CA∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E為PD中點，∴E到平面PAC距離為$\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$，
∵${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{2}{3}\sqrt{3}$    …（12分）

點評 本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，考查三棱錐P-ACE體積，正確運用線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．