Question

16．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的實數(shù)x≥0，總有正常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，則稱f（x）具有“性質(zhì)p”，已知函數(shù)g（x）具有“性質(zhì)p”，且在[0，T]上，g（x）=x²；若當(dāng)x∈[-T，4T]時，函數(shù)y=g（x）-kx恰有8個零點，則實數(shù)k=4$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 由題意可得g（T）=g（0）+T，從而求出T，再作函數(shù)y=g（x）與y=kx在[-1，4]上的圖象，由數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：∵g（T）=g（0）+T，
∴T²=0+T，
解得，T=1或T=0（舍去）；
故作函數(shù)y=g（x）與y=kx在[-1，4]上的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
當(dāng)直線y=kx與y=g（x）在最后一段上相切時，有8個交點，
即函數(shù)y=g（x）-kx恰有8個零點；
此時設(shè)切點為（x₁，g（x₁）），則
$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=g′（x₁），
即$\frac{（{x}_{1}-3）^{2}+3}{{x}_{1}}$=2（x₁-3），
解得，x₁=2$\sqrt{3}$，
故k=2（2$\sqrt{3}$-3）=4$\sqrt{3}$-6．
故答案為：4$\sqrt{3}$-6．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．