Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）+2g（x）的零點(diǎn)；
（2）若直線l：ax+by+c=0（a，b，c為常數(shù)）與f（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B，與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)C、D，求證：|AC|=|BD|；
（3）求函數(shù)F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出H（x）的解析式，令H（x）=0，解方程即可得到零點(diǎn)；
（2）設(shè)出A，B，C，D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和f（x）、g（x）消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得證；
（3）運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開和合并，再由基本不等式結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可求得最小值為1．

解答 解：（1）由題意可得$h（x）=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0⇒x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即有函數(shù)h（x）的零點(diǎn)為$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx+b=0$，則${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$，
同理由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx-b=0$，則${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$，
則AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)重合，即|AC|=|BD|；
（3）由題意可得$F（x）=\frac{1}{{{2^{2n}}}}[{{{（{x+\frac{1}{x}}）}^{2n}}-{{（{x-\frac{1}{x}}）}^{2n}}}]$
=$\frac{1}{{{2^{2n}}}}（{2C_{2n}^1{x^{2n-2}}+2C_{2n}^3{x^{2n-6}}+…+2C_{2n}^{2n-3}{x^{6-2n}}+2C_{2n}^{2n-1}{x^{2-2n}}}）$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}$[${C}_{2n}^{1}$（x^2n-2+x^2-2n）+${C}_{2n}^{3}$（x^2n-6+x^6-2n）+…+${C}_{2n}^{2n-3}$（x^6-2n+x^2n-6）+${C}_{2n}^{2n-1}$（x^2-2n+x^2n-2）]
$≥\frac{1}{{{2^{2n}}}}（{2C_{2n}^1+2C_{2n}^3+…+2C_{2n}^{2n-3}+2C_{2n}^{2n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$•2•2^2n-1=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，等號(hào)成立．
所以函數(shù)F（x）的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)和方程的思想，以及二項(xiàng)式定理和基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題和易錯(cuò)題．