Question

12．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a僅一個零點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{6}）$
• B． $（-\frac{1}{6}，0）$
• C． $（-∞，0）∪（\frac{1}{6}，+∞）$
• D． $（-∞，\frac{1}{6}）∪（0，+∞）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)有一個零點，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a，
則f′（x）=x²-x，令x²-x=0，可得x=1或x=0，
x∈（-∞，0），函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a是增函數(shù)，x∈（0，1）時函數(shù)是減函數(shù)，x∈（1，+∞）是增函數(shù)．
f（0）是極大值，f（1）是極小值，
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a僅一個零點，
則f（0）＜0或f（1）＞0，
可得a＜0，或$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+a＞0$即a＞$\frac{1}{6}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值與函數(shù)的零點的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．