Question

20．等腰三角形頂角的余弦值為$\frac{2}{3}$，那么這個(gè)三角形一底角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC中 AB=AC，作AD⊥BC于D，設(shè)∠CAD=α，則∠CAB=2α．利用二倍角的余弦公式列式，解出sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．進(jìn)而在Rt△ACD中算出cosC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

解答 解：設(shè)等腰三角形為△ABC，AB=AC，如圖所示
作AD⊥BC于D，設(shè)∠CAD=α，則∠CAB=2α
∵cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，即cos2α=$\frac{2}{3}$
∴1-2sin²α=$\frac{2}{3}$，解之得sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$（舍負(fù)）
因此，Rt△ACD中，cos∠C=sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即此等腰三角形的底角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式和解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．