Question

5．某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，他的后墻利用后墻不花錢，正面用鐵柵欄，每一米長造價(jià)是40元，兩側(cè)砌墻磚，每米造價(jià)是45元，頂部每1m²造價(jià)20元．
（1）計(jì)算倉庫底面積的最大允許值s是多大？
（2）為使S最大，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵欄應(yīng)設(shè)計(jì)多長？

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)正面鐵柵欄的長度為x米、側(cè)面長為y米，列出關(guān)系式40x+2y×45+20xy=3200，利用基本不等式可知40x+90y≥120$\sqrt{xy}$（當(dāng)且僅當(dāng)40x=90y取等號），進(jìn)而解不等式3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知當(dāng)40x=90y時(shí)S取最大值100，利用xy=100計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)正面鐵柵欄的長度為x米，側(cè)面長為y米，
則40x+2y×45+20xy=3200，
即40x+90y+20xy=3200，
∵40x+90y≥2$\sqrt{40x•90y}$=120$\sqrt{xy}$（當(dāng)且僅當(dāng)40x=90y取等號），
∴3200≥120$\sqrt{xy}$+20xy，即xy+6$\sqrt{xy}$-160≤0，
解得：0＜$\sqrt{xy}$≤10，即0＜xy≤100，
故倉庫底面積的最大允許值S為100；
（2）由（1）可知當(dāng)40x=90y時(shí)S取最大值100，
又∵xy=100，
∴x=15，y=$\frac{20}{3}$，
∴此時(shí)正面鐵柵欄應(yīng)設(shè)計(jì)為15米．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．