Question

19．已知點A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（-sinθ，2），且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$．
（Ⅰ）記函數(shù)$f（θ）=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$，$θ∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$，討論函數(shù)的單調(diào)性，并求其值域；
（Ⅱ）若O，P，C三點共線，求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)設(shè)P（x，y），由向量的坐標(biāo)運算求出、和的坐標(biāo)，由和向量相等的充要條件求出x和y，求出的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積運算和三角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性
求出f（x）的單調(diào)性和值域；
（Ⅱ）根據(jù)條件得，代入向量共線的坐標(biāo)條件，由商的關(guān)系求出tanθ，再由二倍角的正弦公式和平方、商的關(guān)系將sin2θ用tanθ表示出來并求值，再求出的值．

解答 解：設(shè)P（x，y），由 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$得  $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$，
即 （cosθ-sinθ，-1）=（x-cosθ，y），
所以 x=2cosθ-sinθ，y=-1，亦即P（2cosθ-sinθ，-1）；
（Ⅰ）$f（θ）=\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}=（sinθ-cosθ，1）•（2sinθ，-1）$=2sin²θ-2sinθcosθ-1=-sin2θ-cos2θ=$-\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）$；
由$θ∈（-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}）$得$2θ+\frac{π}{4}∈（0，\frac{5π}{4}）$，
所以，當(dāng)$2θ+\frac{π}{4}∈（0，\frac{π}{2}）$即$θ∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}}]$時，f（θ）單調(diào)遞減，且$-\sqrt{2}≤f（θ）＜0$，
當(dāng)$2θ+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}}）$即$θ∈[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$時，f（θ）單調(diào)遞增，且$-\sqrt{2}≤f（θ）＜1$，
故，函數(shù)f（θ）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}}]$，單調(diào)遞增區(qū)間為$[{\frac{π}{8}，\frac{π}{2}}）$，
值域為$[{-\sqrt{2}，1}）$．
（Ⅱ）由O、P、C三點共線可知，$\overrightarrow{OP}$∥$\overrightarrow{OC}$，
即 （-1）•（-sinθ）=2•（2cosθ-sinθ），得$tanθ=\frac{4}{3}$，
所以 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{{（sinθ+cosθ）}^2}+1}=\sqrt{2+2sinθcosθ}$=$\sqrt{2+\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=$\sqrt{2+\frac{2tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}}$=$\frac{\sqrt{74}}{5}$．

點評 本題是向量與三角函數(shù)的綜合題，考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算、向量相等的充要條件，三角恒等變換中公式，涉及的公式多，需要熟練掌握并會靈活運用