Question

9．若函數(shù)f（x）=-log_a（x³+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[0，1]，則a=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到題中函數(shù)在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合f（0）=-log_a1=0可得f（x）是增函數(shù)且f（1）=1．由此建立關(guān)于a的方程，解之即可得出實數(shù)a的值．

解答 解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）=-log_a（x³+1）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=-log_a（x³+1）滿足f（0）=-log_a1=0，
∴由函數(shù)的定義域和值域都是[0，1]，
得函數(shù)f（x）是增函數(shù)且f（1）=1．
即-log_a（1+1）=1，a=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要通過函數(shù)間的轉(zhuǎn)化，來考查對數(shù)函數(shù)的定義域，值域及其單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化和分類討論思想．