Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=7，且a₁，a₂，a₃-1成等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，6T_n=（3n+1）b_n+2，其中n∈N⁺．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)集合A={a₁，a₂，…，a₁₀}，B={b₁，b₂，…，b₄₀}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用把已知等式列方程可求得公比和首項(xiàng)，則數(shù)列的通項(xiàng)可得．
（Ⅱ）根據(jù)題意先求得$\frac{_{n}}{_{n-1}}$的表達(dá)式，利用疊乘法求得通項(xiàng)．
（Ⅲ）先分別求得兩個(gè)集合元素的和，進(jìn)而找到他們公有的元素減去即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意知a₁+a₂+a₃=7   ①
∵a₁，a₂，a₃-1成等差數(shù)列，
∴2a₂=a₁+a₃-1②，
②-①求得a₂=2，即a₁q=2，③
又由①得a₁+a₁q²=5，④
消去a₁得2q²-5q+2=0，求得q=2或$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵6T_n=（3n+1）b_n+2，①
當(dāng)n≥2時(shí)，6T_n-1=（3n-2）b_n-1+2，②
①-②得6b_n=（3n+1）b_n-（3n-2）b_n-1，
即$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{3n-2}{3n-5}$，
∴$\frac{_{2}}{b1}$=$\frac{4}{1}$，$\frac{_{3}}{_{2}}$=$\frac{7}{4}$，$\frac{_{4}}{_{3}}$=$\frac{10}{7}$…
∴$\frac{_{2}}{_{1}}$•$\frac{_{3}}{_{2}}$…$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{4}{1}$×$\frac{7}{4}$×$\frac{10}{7}$×…×$\frac{3n-2}{3n-5}$，
∴$\frac{_{n}}{_{1}}$=3n-2
∵b₁=1
∴b_n=3n-2，
（Ⅲ）S₁₀=$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$=2¹⁰-1=1023，T₄₀=3×$\frac{40×41}{2}$-80=2380，
∵A和B的公共元素為1，4，16，64，其和為85，
∴集合C中所有元素之和為S₁₀+T₄₀-85=3318．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．