Question

14．已知數(shù)列{a_n}中a₁=1，a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）對(duì)一切n∈N^*，若p（a_n+1）＞3n-1恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-S_n-1=n，可化為a_n+1+1=2（a_n+1）．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由（I）可得：${a}_{n}={2}^{n}-1$，由p（a_n+1）＞3n-1恒成立，可得p＞$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，令f（n）=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
通過(guò)作差研究其單調(diào)性即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1-S_n=n+1，n∈N^*，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-S_n-1=n，
∴a_n+1-a_n-a_n=1，化為a_n+1+1=2（a_n+1）．
由a₁=1，a₂-a₁=2，解得a₂=3，∴a₂+1=2（a₁+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
（II）解：由（I）可得：a_n+1=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
由p（a_n+1）＞3n-1恒成立，可得p＞$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
令f（n）=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*．
則f（n+1）-f（n）=$\frac{3（n+1）-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{4-3n}{{3}^{n+1}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，由f（n+1）＞f（n）；當(dāng)n≥2時(shí)，有f（n+1）＜f（n），
∴當(dāng)n=2時(shí)，[f（n）]_max=$\frac{5}{4}$．
∴$p＞\frac{5}{4}$．
即實(shí)數(shù)p的取值范圍是$（\frac{5}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．