Question

4．已知函數(shù)f（x）=asin（ωx+θ）-b的部分圖象如圖，其中ω＞0，|θ|＜$\frac{π}{2}$，a，b分別是△ABC的角A，B所對的邊，$cosC=f（\frac{C}{2}）+1$，則△ABC的面積S=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象，先求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的最大值為a-b=$\sqrt{2}$-1，最小值為-a-b=-$\sqrt{2}$-1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{8}-\frac{3π}{8}$=$\frac{4π}{8}=\frac{π}{2}$，
即函數(shù)的周期T=π，
即 $\frac{2π}{ω}$=π，
即ω=2，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+θ）-1，
∵f（$\frac{3π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3π}{8}$+θ）-1=$\sqrt{2}-1$，
∴sin（$\frac{3π}{4}$+θ）=1，
即$\frac{3π}{4}$+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即θ=2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵|θ|＜$\frac{π}{2}$，
∴k=0時，θ=-$\frac{π}{4}$，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1，
∵$cosC=f（\frac{C}{2}）+1$，
∴cosC=$\sqrt{2}$sin（C-$\frac{π}{4}$）-1+1=sinC-cosC，
即sinC=2cosC，
平方得sin²C=4cos²C，
5sin²C=4，解得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角形面積公式的計算，根據(jù)圖象求出三角函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．