Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=n+1，則數(shù)列$\left\{{\frac{2}{a_n}}\right\}$的前10項(xiàng)的和為$\frac{40}{11}$．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n=n+1，可得n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n+1，
∴n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{2}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)的和S_n=$4[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$4（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{4n}{n+1}$．
當(dāng)n=10時(shí)，S₁₀=$\frac{40}{11}$．
故答案為：$\frac{40}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．