Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-lnx-2，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的解析式，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，分a≤0，a＞0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅲ）討論a≤0，a＞0時，由單調(diào)性可得零點(diǎn)的個數(shù)，由極小值小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-2，
$f'（x）=x-\frac{1}{x}，x＞0$，
∴k=f′（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為0．
（II）$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}，x＞0$，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；   
②當(dāng)$a＞0時，令f'（x）=0，解得x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$.$當(dāng)x∈（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）時，f'（x）＞0$．
∴$函數(shù)f（x）在（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）內(nèi)單調(diào)遞減；在（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增$；
（III）當(dāng)a≤0時，由（2）可知f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）不可能有兩個零點(diǎn)；                                  
當(dāng)a＞0時，由（2）得，$函數(shù)f（x）在（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）內(nèi)單調(diào)遞減，在（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增$，
且當(dāng)x趨近于0和正無窮大時，f（x）都趨近于正無窮大，故若要使函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)；
則f（x）的極小值$f（\frac{{\sqrt{a}}}{a}）＜0$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}lna-2＜0$，解得0＜a＜e³，
所以a的取值范圍是（0，e³）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，以及單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．