Question

3．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），拋物線C₂：y=$\frac{1}{4}$x²+b，過(guò)點(diǎn)F（0，b+1）作x軸的平行線，與拋物線C₂在第一象限的交點(diǎn)為G，且該拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析 y=$\frac{1}{4}$x²+b，與y=b+1聯(lián)立可得G（2，b+1），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，進(jìn)而點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)G的切線方程為y=x+b-1，把（0，0）代入可得b=1即可點(diǎn)到橢圓的方程．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²+b，當(dāng)y=b+1，得x=±2，∴G（2，b+1），
由y′=$\frac{1}{2}$x，
∴y′|_x=2=1，
∴過(guò)點(diǎn)G的切線方程為y-（b+1）=x-2，即y=x+b-1，
把（0，0）代入可得b=1．
即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．