Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角為A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{3}{2}$且sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）首先，利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后，確定其最小值和周期即可；
（2）結(jié)合余弦定理和正弦定理求解．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)的最小值為-$\frac{1}{2}$，
周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵f（C）=$\frac{3}{2}$，
∴f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，
∴b=2a，
根據(jù)余弦定理，得
c²=a²+b²-2abcosC，
∴3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
∴a=1，b=2．

點評 本題重點考查了三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．